दर्पण सूत्र क्या है ? दर्पण के लिए सूत्र की स्थापना

         

     दर्पण सूत्र ( mirror formula )       

                                                                                    𝕊𝕔𝕚𝕄𝕚𝕤𝕥

Content :-

 A. दर्पण सूत्र 

 B. अवतल दर्पण के लिए दर्पण सूत्र की व्युत्पत्ति

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A. दर्पण सूत्र :-

            गोलीय दर्पण में इसके ध्रुव से बिंब की दूरी, बिंब दूरी (u) कहलाती है। दर्पण के ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी, प्रतिबिंब दूरी (v) कहलाती है। 

आपको पहले ही ज्ञात है कि ध्रुव से मुख्य फोकस की दूरी, फोकस दूरी ( f ) कहलाती है। इन तीनों राशियों के बीच एक

संबंध है जिसे दर्पण सूत्र द्वारा प्रस्तुत किया जाता है।

इस सूत्र को निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं:

               1/v + 1/u = 1/f

यह संबंध सभी प्रकार के गोलीय दर्पणों के लिए तथा बिंब की सभी स्थितियों के लिए मान्य हैं। प्रश्नों को हल करते समय, जब आप दर्पण सूत्र में u, v, f तथा R के मान प्रतिस्थापित करें तो आपको नयी कार्तीय चिह्न परिपाटी का प्रयोग करना चाहिए।     

                    1/f = 1/v + 1/u

       

  जहाँ  

 f दर्पण की फोकस दूरी,

 u वस्तु की दर्पण के ध्रुव से दूरी तथा

 v प्रतिबिम्ब की दर्पण के ध्रुव से दूरी

B. अवतल दर्पण के लिए दर्पण सूत्र की व्युत्पत्ति:-

माना प्रकाश किरण  PQ अवतल दर्पण पर आपतित होती हैं। परावर्तन के  पश्चात F से  गुजर जाती है तथा इसी प्रकार एक अन्य QMप्रकाश किरण F से गुजरती हुई अवतल दर्पण पर आपतित होती हैं यह किरण परावर्तन के पश्चात मुख्य अक्ष के समांतर हो जाती है।

 त्रिभुज  PQF & MOF में 

             ㄥF = ㄥF       ( सम्मुख कोण) 

             ㄥP = ㄥO=  ㄥ90

            ㄥQ  = ㄥM

हम देखते हैं कि त्रिभुज PQF व त्रिभुज MOF समरूप हैं ।

    

                               (यहाँ यह माना गया है कि Oव M इतने पास हैं कि उन्हें एक सरल रेखा माना जा सकता है)

अतः

               OM  /PQ = OF/PF =  c / a - c. .....( 1 )

चूंकि P'Q' =  OM  , इसलिये

 

समीकरण  ......( 1 ) में रखने पर-

                       P'Q'/PQ =    C /  a - c     ......( 2 ) 

इसी प्रकार समरूप त्रिभुज OLF व PQ' Fमें

 

      OL  / P'Q' = OF / P'F =  c / b - c  .....( 3 )

चूंकि  OL = PQ, अत:

समीकरण ..... ( 3 ) में रखने पर-

    

            PQ  / P'Q ' = c / b - c.   ......( 4 )

समीकरण ..... (4 ) का व्युत्क्रम -

         P'Q' / PQ = b - C / C  .......(5)

समी...... ( 2 ) व सभी. ..... ( 5 ) से,

     या         c /a - c   =  b - c / c 

     या 

                       ab - ac - bc + c² = c²

      या 

                        bc + ac = ab       ....... ( 6 )

प्रत्येक पद में abc का भाग देने पर,

          1/a + 1/b  =  1/c

कार्तीय चिन्ह परिपाटी के अनुसार यहाँ a, b व c तीनों ही ऋणात्मक होगें। 

अतः बिम्ब की ध्रुव से दूरी u = -a

प्रतिबिम्ब कीदूरी       v = -b 

तथा फोकस की ध्रुव से दूरी f = -c

अतः

        -1/u  - 1/v  = -1/f

या 

     

                1/v + 1/u = 1/f

          

यही दर्पण सूत्र है एवं यह सूत्र उत्तल दर्पण पर भी लागू होता है।

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